3.3 Ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

 

Ecuación de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Así,  4x2 + 7x + 6 = 0 es una ecuación de segundo grado.

 

Ecuaciones completas de 2o. grado son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, que tienen un término en x2, un término en x y un término independiente de x.

 

Así, 2x2 + 7x - 15 = 0 y x2 - 8x = -15 o x2 -8x + 15 = 0 son ecuaciones completas de 2o. grado.

 

Ecuaciones incompletas de 2o. grado son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 que carecen del término en x o de la forma ax2 + bx = 0 que carecen del término independiente.

 

Así, x2 - 16 = 0 y 3x2 + 5x = 0 son ecuaciones incompletas de 2o. grado.

 

Raíces de una ecuación de 2o. grado son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación.

Toda ecuación de 2o. grado tiene dos raíces. Así, las raíces de la ecuación x2 - 2x -3 = 0 son x1 = 3 y x2 = -1; ambos valores satisfacen esta ecuación.

 

Resolver una ecuación de 2o. grado es hallar las raíces de la ecuación.

 

 

Ecuaciones completas.

Solución por completación de cuadrados.

 

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo x2 + bx + c = 0

 

Por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse  x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

 

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio

( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

 

 

 

 

 

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

 

 Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de 2o. grado

ax2 + bx + c = 0

 

La ecuación es ax2 + bx + c = 0

Multiplicando por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Sumando b2 a los dos miembros: 4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2

Pasando 4ac al 2o. miembro: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto:

(2ax + b)2 = b2 - 4ac

 

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:

 

 

 

 

 

Transponiendo b:

 

 

 

 

 

Despejando x:

 

 

 

 

 

 

 

Fórmula que me da las dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (porque de esta fórmula salen dos valores de x según se tome

 

 

 

 

 

con signo + o - en función de a, coeficiente del término en x2 en la ecuación, b coeficiente del término en x y c el término independiente.

 

Obsérvese que en la fórmula aparece el coeficiente del 2o. término de la ecuación b con signo distinto al que tiene en la ecuación.