4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades.

 

Miembros: se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.

 

Así, en a + b > c - d el primer miembro es a + b y el segundo c - d.

 

Términos: son las cantidades que están separadas de otras por el signo + o - o la cantidad que está sola en un miembro.

 

En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y -d.

 

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que los segundos.

 

Así, a > b y c > d son desigualdades del mismo sentido.

 

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido contrario.

 

Propiedades de las desigualdades.

 

1. Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a > b, podemos escribir:

a + c > b + c y a - c > b - c.

 

Consecuencia.

Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

 

Así, en la desigualdad a > b + c podemos pasar c al primer miembro con signo - y quedará a . c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

 

En la desigualdad a - b > c podemos pasar b con signo + al segundo miembro y quedará a > b + c, porque equivale a sumar b a los dos miembros.

 

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, podemos escribir:

 

 

 

 

 

 

 

Consecuencia.

 

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m. de los denominadores.

 

3. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varía.

Así, si en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por -c, tendremos: -ac < -bc

 

y dividiéndolos por -c, o sea multiplicando por - 1/c, tendremos:

-a/c<-b/c

 

Consecuencia.

 

Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por -1.

 

Así, si en la desigualdad a - b > -c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos: b - a < c.

 

4. Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.

Así, si a > b es evidente que b < a.

 

5. Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.

Así, siendo a > b se tiene que 1/a<1/b

 

6. Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Así, 5 > 3. Elevando al cuadrado: 52 > 32 o sea 25 > 9.